Натуральні числа — числа, що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, ...

В математиці множину натуральних чисел прийнято позначати знаком : .

Існує два підходи для означення натуральних чисел — числа, що використовуються при:

• лічбі предметів (перший, другий, третій…) — підхід загальноприйнятий в більшості країн світу.
• позначенні кількості предметів (відсутність предметів, один предмет, два предмети… ) загальноприйнятий в роботах Бурбаки, де натуральні числа означаються як потужність скінченних множин.

Від'ємні та нецілі числа не є натуральними числами.

Існує нескінченна кількість натуральних чисел — для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше за нього.Історія натуральних чисел

Поняття натурального числа, викликане потребою лічби предметів, виникло ще в доісторичні часи. Процес формування поняття натурального числа тривав протягом всієї історії людства. На найнижчому етапі первісного суспільства поняття абстрактного числа не існувало. В свідомості первісної людини ще не сформувалося те спільне, що об’єднує наприклад, "три людини" та "три озера". Аналіз мов первісних народностей показує, що для лічби предметів різного типу використовувались різні словесні обороти. Слово "три" в контекстах "три людини", "три човни" передавалось по-різному. Такі іменовані числові ряди були дуже короткими і завершувались неіндивідуалізованим поняттями "багато" (про велику кількість тих чи інших предметів), які також були іменованими, тобто висловлювались різними словами для різних типів об’єктів, такими, як "натовп", "стадо", "купа" тощо. Спочатку числові терміни мали більш якісний характер - відрізняли один, два та більшу кількість. Більші числа одержували додаванням. Наприклад, у австралійського племені ріки Муррей, 1 — енза, 2 — петчевал, 3 — петчевал-енза, 4 — петчевал-петчевал. Але навіть такі здібності людство здобуло після великого проміжку часу, в який користувалися лише з понять "один", "два" та "багато" (ще й досі збереглося плем'я, яке зупинилось на цьому етапові розвитку вмінь числового абстрагування).

Джерелом виникнення поняття абстрактного числа є примітивна лічба предметів, що базувалась на співставленні предметам даної сукупності предметів певної сукупності, що мала роль еталону. У більшості народів першим таким еталоном є пальці ("лічба на пальцях"), що безпосередньо підтверджується мовознавчим аналізом назв перших чисел. На цьому етапі число стає абстрактним, незалежним від якості об’єктів лічби, але разом з тим пов’язаним з природою сукупності-еталону. Розширення потреб лічби спонукало людей користуватися з інших еталонів лічби, наприклад, зарубок на паличці. Для фіксації порівняно великих чисел стала використовуватись нова ідея: позначення деякого певного числа (у більшості народів - десяти) новим знаком, наприклад, зарубкою на іншій паличці.

З розвитком писемності можливості відтворення чисел значно розширились. Спочатку числа стали позначати рисками на матеріалі, що слугував для запису (папірус, глиняні таблички тощо). Потім були введені інші знаки для великих чисел. Вавилонські клинописні позначення чисел, а також "римські цифри", що збереглися до наших днів, ясно свідчать саме про цей шлях формування позначень для чисел.

Найбільшим прогресом було винайдення "цифр". Тепер стало можливим записати будь-яке число обмеженим набором символів. Наприклад, вавілоняни розвивали потужну періодичну систему, що базувалась фактично на цифрах 1 та 10. Значним кроком вперед була індійська позиційна система числення, що дозволяла записати будь-яке натуральне число за допомогою десяти знаків — цифр. Тобто, паралельно з розвитком писемності поняття натурального числа приймає все більш абстрактну форму, відокремлену від будь-якої конкретності поняття числа, відтворюваного як в формі слів в усній мові, так і в формі позначення спеціальними знаками в письмовій.

Важливим кроком в розвитком поняття натурального числа є усвідомлення нескінченності натурального ряду чисел – потенційної можливості його безграничного продовження. Чітке уявлення про нескінченність натурального ряду відображене в пам’ятниках античної математики (III століття до Р. Х.), в працях Евкліда і Архімеда. В "Началах" Евкліда встановлюється навіть нескінченність кількості простих чисел, а в книзі Архімеда "Псаміт" - принципи для побудови назв та позначень як завгодно великих чисел, зокрема більших за "число піщинок в світі".

Нуль, спочатку означав відсутність числа, став розглядатися як число лише після введення від'ємних чисел (в наш час, нуль іноді включають до натуральних чисел).

Питання про обґрунтованість поняття натурального числа довгий час в науці не ставилося. Поняття натурального числа настільки звичне і просте, що не виникало потреби в його означенні в термінах будь-яких більш простих понять. Лише в середині XIX століття під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці, з одного боку, і критичного перегляду основ математичного аналізу – з іншого, назріла необхідність обґрунтування поняття кількісного натурального числа.

Чітке означення поняття натурального числа на основі поняття множин було дано в 70-х роках XIX століття в роботах Георга Кантора. Спочатку він означує рівнопотужність множин. Потім число елементів однієї множини, означається як те спільне, що має дана множина і будь-яка інша, рівнопотужна їй, незалежно від якісних особливостей елементів цих множин. Таке означення відображає суть натурального числа як результату лічби предметів.

Інше обґрунтування поняття натурального числа базується на аналізі відношення порядку слідування, яке може бути задано за допомогою аксіом. Побудована на цьому принципі система аксіом була сформульована Джузеппе Пеано.